Shewhart, CUSUM ve EWMA: hangisini ne zaman kullanmalıyım?

Üç grafik, üç bakış

Shewhart grafiği her ölçümü ya da alt grup istatistiğini ±3σ kontrol limitleriyle karşılaştırır. Büyük bir sıçramayı hemen yakalar, ama küçük bir kayma limitlerin içinde kalarak yavaşça gelebilir ve geç fark edilir.

CUSUM sapmaları biriktirir. Her ölçümün hedeften farkından bir kayma payı (k) düşülür, birikim sıfırın altına inemez ve toplam bir karar eşiğini (h) aşınca sinyal verilir. EWMA ise üssel azalan ağırlıklarla bir ortalama alır; ağırlık λ ile ayarlanır ve yakın tarihli ölçümler daha çok sayılır. İkisi de küçük kalıcı kaymaları daha erken yakalar.

Parametreler, yakalanacak kayma ve kabul edilen yanlış alarm sıklığından seçilir. Başlangıç için yaygın değerler, CUSUM'da k ≈ 0,5σ ve h ≈ 4 ile 5σ; EWMA'da λ 0,05 ile 0,25 arası ve L ≈ 2,7 ile 3'tür. Bunlar veriyle sınanacak başlangıç noktalarıdır.

Hipotetik bir CUSUM tablosu

Hipotetik bir örnek: μ0 = 10, σ = 1, k = 0,5; dolayısıyla birikim her adımda x − 10,5 kadar artar ya da azalır.

• t = 1, x = 10,2: S⁺ = max(0; 0 − 0,3) = 0
• t = 2, x = 10,8: S⁺ = max(0; 0 + 0,3) = 0,3
• t = 3, x = 11,0: S⁺ = 0,3 + 0,5 = 0,8
• t = 4, x = 10,1: S⁺ = max(0; 0,8 − 0,4) = 0,4
• t = 5, x = 11,4: S⁺ = 0,4 + 0,9 = 1,3
• t = 6, x = 11,6: S⁺ = 1,3 + 1,1 = 2,4

Altı değerin hiçbiri ±3σ dışında olmadığı için Shewhart sinyal vermez. Eşik h = 4σ = 4 alınırsa CUSUM de henüz sinyal vermez; ama birikim 0'dan 2,4'e çıktı ve her değer hedefin üstünde. Dört nokta daha 11 civarında gelirse birikim 4'ü geçer.

Ayar ve yorum hataları

Birinci hata, otokorelasyonu göz ardı etmektir. Birbirine bağlı ölçümler (ör. yavaş değişen bir sıcaklık) CUSUM ve EWMA'da gereğinden fazla alarm üretebilir; limitleri koymadan önce artıkların bağımsız olup olmadığına bakın. İkinci hata, σ'yı kaymakta olan bir dönemden hesaplamaktır; σ, kararlı bir kontrol döneminden tahmin edilmelidir. Üçüncüsü, k, h, λ ve L değerlerini sezgiyle seçmektir. Bunlar yakalanacak kaymadan ve kabul edilen ortalama koşu uzunluğundan (ARL) türetilmelidir.

Sık sorulanlar