CUSUM ve EWMA: küçük ve kalıcı kaymaları yakalamak

Shewhart neden küçük kaymada geç kalır

Shewhart kontrol grafiği her ölçümü tek tek sınırlarla karşılaştırır. Üst ve alt sınırlar genellikle μ0 ± 3σ olarak seçilir; μ0 hedef ortalamadır, σ ise kararlı bir dönemden tahmin edilen standart sapmadır. Büyük ve ani sıçramalarda bu grafik hızlı ve basit bir uyarı verir.

Ancak proses ortalaması yalnızca 0,5 ile 1,5σ arasında kalıcı biçimde kaydığında, tek bir ölçüm nadiren sınırı aşar. Sapma gerçek olsa bile sinyal gecikir. Her nokta sınır içinde göründüğü için gecikme fark edilmeyebilir. Kalite kontrolünde bu, bir proses yavaşça hedefin dışına çıkarken üretimin uzun süre fark edilmeden sürmesi anlamına gelebilir. Küçük ama kalıcı kaymalar, geçmiş sapmaları birikimli olarak izleyen CUSUM ve EWMA ile daha erken görülebilir.

CUSUM: birikimli sapmayı toplamak

CUSUM (kümülatif toplam) her yeni ölçümden bir referans değeri çıkarır ve farkı bir toplama ekler. Yukarı yönlü kaymayı izleyen toplam şöyle hesaplanır:

S⁺_t = max(0, S⁺_(t−1) + (x_t − μ0 − k))

Burada k serbestlik payıdır ve çoğu uygulamada 0,5σ alınır. Referans değer μ0 + k’dır. Ölçümler bu değerin üstünde kaldıkça toplam büyür; altına indiğinde toplam sıfıra doğru düşer ve sıfırın altına inmez. S⁺, önceden belirlenen h eşiğini aştığında sinyal verilir; h genellikle 4σ ile 5σ arasında seçilir. Aşağı yönlü kaymalar için ters mantıkla çalışan S⁻ tanımlanır ve iki toplam birlikte izlenir. Kısa süreli bir sıçramadan sonra ölçümler referansın altında kalırsa toplam sıfıra doğru geri iner; kalıcı bir sapma ise toplamı büyütmeye devam eder.

Hipotetik bir CUSUM tablosu

Aşağıdaki örnek hipotetiktir: μ0 = 10, σ = 1, k = 0,5 (referans değeri 10,5) ve h = 4. Altı ölçüm sırayla geliyor:

• t = 1, x = 11,0: 11,0 − 10,5 = 0,5; S⁺ = 0 + 0,5 = 0,5
• t = 2, x = 11,2: 11,2 − 10,5 = 0,7; S⁺ = 0,5 + 0,7 = 1,2
• t = 3, x = 10,9: 10,9 − 10,5 = 0,4; S⁺ = 1,2 + 0,4 = 1,6
• t = 4, x = 11,4: 11,4 − 10,5 = 0,9; S⁺ = 1,6 + 0,9 = 2,5
• t = 5, x = 11,1: 11,1 − 10,5 = 0,6; S⁺ = 2,5 + 0,6 = 3,1
• t = 6, x = 11,6: 11,6 − 10,5 = 1,1; S⁺ = 3,1 + 1,1 = 4,2, h = 4 aşıldı

Altı değerin ortalaması 11,2; yani kayma yaklaşık 1,2σ. Bu değerlerin hiçbiri 13,0 olan Shewhart üst sınırını aşmaz. CUSUM ise altıncı ölçümde sinyal verir. Aşağı yönlü S⁻ bu tabloda sıfır kalır, çünkü S⁻ yalnızca bir ölçüm 9,5’in altına inerse artar ve hiçbiri bu değere ulaşmaz.

EWMA: üssel ağırlıklı ortalama

EWMA, her yeni ölçümü bir önceki yumuşatılmış değerle karıştırır:

z_t = λ·x_t + (1−λ)·z_(t−1)

Burada 0 < λ ≤ 1 bir ağırlıktır. λ küçüldükçe geçmiş değerlere daha fazla ağırlık verilir; grafik daha pürüzsüz ama daha yavaş tepki verir. Tipik λ değerleri 0,05 ile 0,25 arasındadır. Kontrol sınırları μ0 ± L·σ·√(λ/(2−λ)·(1−(1−λ)^(2t))) ile hesaplanır ve L genellikle 2,7 ile 3 arasında seçilir.

Hipotetik bir örnek: λ = 0,1 ve L = 2,7 olsun. Zaman ilerledikçe parantez içindeki terim 1’e yaklaşır ve sınırlar μ0 ± 2,7·σ·√(0,1 / 1,9) değerine gelir. Kök hesaplanırsa √(0,1 / 1,9) ≈ 0,229 ve sınır yaklaşık μ0 ± 0,62σ olur. Bu sınır, EWMA istatistiği için Shewhart’ın ±3σ sınırından çok daha dardır; bu nedenle küçük bir kayma daha erken görünür hale gelebilir.

Otokorelasyon ve yanlış alarm

CUSUM ve EWMA, ölçümlerin birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Ardışık ölçümler birbirine bağlıysa, yani bir değer bir öncekine benziyorsa, sapma gerçek bir kayma olmadan birikebilir ve yanlış alarm sayısı artar. Bu etki, ardışık örneklerin birbirine çok yakın alındığı veri akışlarında belirginleşir. Otokorelasyon belirginse, ham değerler yerine modelin artıkları üzerinde izleme yapmak düşünülebilir.

Bir diğer risk σ tahminidir. σ, kararlı bir kontrol döneminden tahmin edilmelidir. Bakım, ürün değişimi ya da vardiya etkisi içeren bir pencereden alınan σ, sınırları gereğinden geniş ya da dar yapar. Bu yüzden σ’nın hangi dönemden geldiğini raporda belirtin. Ölçümler arasındaki ilişkiyi, ardışık değerlerin birbiriyle korelasyonuna bakarak kabaca kontrol edebilirsiniz.

Parametreleri seçmek ve başlamak

Önce korumak istediğiniz en küçük kaymayı tanımlayın. Tespit edilecek kayma δσ ise k değerini kabaca δ/2 civarında seçmek yaygın bir başlangıçtır; 1σ kayma için k = 0,5σ gibi. Ardından h değerini kabul edilebilir yanlış alarm sıklığına göre ayarlayın. Bu sıklık ortalama çalışma uzunluğu (ARL) ile ifade edilebilir: kontrol içindeki bir proseste, yanlış bir sinyalin ortalama kaç ölçüm sonra geleceği. ARL büyüdükçe yanlış alarm seyrekleşir, ama gerçek bir kaymayı görme gecikmesi de artabilir.

Başlarken kararlı bir dönemden σ tahmin edin, aynı veride Shewhart, CUSUM ve EWMA sonuçlarını karşılaştırın ve her sinyalin gerçek bir proses değişikliğiyle ilişkili olup olmadığını kaydedin.

Sık sorulanlar