Hotelling T2 ve SPE nedir, çok değişkenli süreç izlemede nasıl okunur?

Değişkenleri neden birlikte izlemeli?

Akış, basınç ve motor akımı normal işletmede birlikte hareket eder. Her değişkene ayrı sınır çizen bir kontrol grafiği, her değişken kendi aralığındayken birlikte olağan dışı bir kombinasyonu kaçırabilir.

PCA normal veriyi, en çok değişimi taşıyan k doğrultuya indirger. Bu doğrultular model düzlemini tanımlar. T² noktanın bu düzlemdeki konumunu, normal değişime göre ne kadar uç olduğunu ölçer; bir Mahalanobis türü uzaklık gibi düşünülebilir. SPE ise noktanın düzleme olan uzaklığının karesidir. Nokta normal korelasyon örüntüsünü takip etmiyorsa SPE yükselir. İki istatistik farklı sapmalara tepki verdiği için ikisi birlikte okunmalıdır.

Hipotetik iki değişkenli örnek

Varsayımsal bir hatta iki standartlaştırılmış değişken var: akış z1 ve basınç z2. Normal veride korelasyonun 0,9 olduğu varsayılsın. İlk ana bileşen (1, 1)/√2 yönünde uzanır ve bu yöndeki varyans 1 + 0,9 = 1,9’dur. k = 1 seçilirse model düzlemi bir doğrudur.

Nokta A = (2, 2): iki değişken de +2σ, uyumlu bir hareket. Bileşen skoru t = (2 + 2)/√2 ≈ 2,83, dolayısıyla T² = t²/λ = 8/1,9 ≈ 4,21. Artık vektör sıfırdır, SPE = 0. Nokta normal korelasyon boyunca uçtadır ama korelasyonu bozmamıştır.

Nokta B = (2, −2): her değişken yine 2σ uzakta, ama zıt yönde. Skor t = 0, T² = 0. Artık vektör (2, −2) olduğundan SPE = 2² + (−2)² = 8. Düzlemin merkezindeki bu nokta yalnızca SPE ile yakalanır.

Sınırlar ve sık yapılan hatalar

Yöntem yaklaşık doğrusal ilişkiler ve temiz normal eğitim verisi varsayar. Eğitim penceresinde gizli bir arıza varsa normal düzlem o arızayı da içerir ve alarm gelmez. Değişkenler standartlaştırılmadan kullanılırsa birimi büyük olan sensör bileşenlere hakim olur; örneğin basınç Pa cinsinden kaydedilmişse.

T² ve SPE için kontrol sınırları F dağılımına dayalı yaklaşımlarla ya da eğitim verisinin ampirik yüzdelikleriyle konabilir; ikisi de normal veri varsayımına dayanır. Bakım ya da rejim değişiminden sonra model yeniden kurulmalıdır. Alarm geldiğinde katkı grafikleri hangi değişkenin sapmaya en çok katkı verdiğini gösterir. Bu teşhisin başlangıcıdır, sonucu değildir.

Sık sorulanlar